Авторизация

Логин

Пароль

     
 
 
     
Дарчик - Главная страница » Развитие логики » Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010
     
 
 
     

Подписка на новости сайта

Для получения рассылок
свежих новостей
Введите свой email адрес:

Переводчик
Популярные статьи
ДАРЧИК в соц.сетях

Р Е К Л А М А
Новости партнеров
{inform_vash_master}
Опрос
Из какого источника Вы узнали о нашем сайте?

посоветовали друзья
каталоги почтовых серверов (mail.ru; subscribe.ru и др.)
реклама на других сайтах
социальные сети
поисковик
другое

Архив новостей
Декабрь 2017 (1)
Сентябрь 2017 (8)
Август 2017 (24)
Июль 2017 (29)
Июнь 2017 (28)
Май 2017 (10)
Счетчики

Яндекс.Метрика

   
   
     
 
Советуем Вам зарегистрироваться, чтобы быть полноправным пользователем нашего сайте.

Администрация "Дарчик.ру"
Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010

Ответы на


задачи московской математической олимпиады – декабрь 2010


6 класс


рис. .11. Расставьте числа 1, 2, 3, … 9 в кружочках (рис. 1) так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 17.



Ответ: По условию задачи сумма четырех чисел на одной стороне равна 17. Если сложить все 12 чисел (три суммы по 4 слагаемых), то получится 17 * 3 = 51. В этой сумме должны присутствовать каждое число из чисел 1, 2, 3, … 9, причем три из них (поставленные в углы) – по два раза. Так как 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45, то сумма трех “угловых” чисел равна 51-45=6. Значит, в углах обязательно должны стоять числа 1, 2 и 3. Дальнейший подбор чисел не сложен.


***


2. Коля и Катя учатся в одном классе. Мальчиков в этом классе в два раза больше, чем девочек. У Коли одноклассников на 7 больше, чем одноклассниц. Сколько одноклассниц у Кати?



Ответ: у Кати 7 одноклассниц.


Первый способ. Так как у Коли одноклассников на 7 больше, чем одноклассниц, то мальчиков в этом классе на 8 больше, чем девочек. Кроме того, их в два раза больше, чем девочек. Поэтому мальчиков – 16, а девочек – 8 (это можно получить, например, из уравнения 2х – х =8, где х – количество девочек, 2х – количество мальчиков). Одна из восьми девочек – Катя, значит, у нее 7 одноклассниц.


Второй способ. Пусть в этом классе y девочек, тогда мальчиков – 2у. Значит, у Коли (2у - 1) одноклассников и у одноклассниц. Получим уравнение: (2у - 1) – 1 = 7, решением которого является у = 8. Таким образом, у Кати 7 одноклассниц.


***


3. Иван, Петр и Сидор ели конфеты. Их фамилии – Иванов, Петров и Сидоров. Иванов съел на 2 конфеты меньше Ивана, Петров – на 2 конфеты меньше Петра, а Петр съел больше всех. У кого из них какая фамилия?



Ответ: Петр Сидоров, Иван Петров, Сидор Иванов.


Первый способ. Иванов съел меньше Ивана, а Петр съел больше всех, значит, Петр – не Иванов. В то же время Петр – не Петров (так как, Петров съел меньше Петра), то есть, фамилия Петра – Сидоров, Иванов – не Иван, значит, Иванова зовут Сидор, Следовательно, Петрова зовут Иван.


Второй способ.


  1. Кто съел больше всех конфет? Это не Иванов (который съел меньше Ивана) и не Петров (который съел меньше Петра), значит, это Сидоров. По условию, больше всех съел Петр, значит, его фамилия Сидоров.

  2. Фамилия Ивана – не Сидоров (потому что Сидорова зовут Петр) и не Иванов (т.к. Иванов съел меньше Ивана). Значит, фамилия Ивана – Петров.

  3. Если фамилия Петра – Сидоров, а фамилия Ивана – Петров, то фамилия Сидора – Иванов.

***


рис. 24. Требуется разрезать по клеточкам изображенную на рисунке 2 фигуру на несколько равных частей. Сколько частей может получиться? Найдите все возможные ответы и для каждого из них укажите способ разрезания. (Части считаются равными, если они совпадают при наложении).



Ответ:


Данная фигура содержит 24 клетки. Поскольку ее требуется разрезать на равные части, то в каждой части должно быть одно и то же количество клеток. Значит, количество частей должно быть делителем числа 24. Выпишем все делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. На одну часть разрезать фигуру бессмысленно, поэтому, покажем каким образом можно разрезать данную фигуру на 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 части соответственно (см. рисунки ниже)
















Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010
    
Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010Решение задач московской математической олимпиады – декабрь 2010 

 


***


5. На клетки шахматной доски положили рисовые зернышки. Количества зернышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно на 1. При этом на одной из клеток доски лежало 3 зернышка, а на другой – 17 зернышек. Петух склевал все зернышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зерен досталось петуху и сколько курице? (Размер шахматной доски 8 х 8 клеток. Ее главной диагональю называется диагональ, содержащая 8 клеток.)


  Ответ: и петуху, и курице досталось по 80 зерен.


Пусть, например, клетка А, в которой 3 зернышка, находится на k клеток левее и на n клеток ниже, чем клетка В, в которой 17 зернышек. Рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из клетки А в клетку В. Каждый такой путь состоит из k шагов на соседнюю клетку вправо и n шагов на соседнюю клетку вверх, сделанных в произвольном порядке, то есть в любом случае такой путь состоит из k + n шагов. На каждом шаге количество зерен меняется ровно на 1, а за весь путь количество зерен изменяется на 17 – 3 = 14. Но, исходя из размеров шахматной доски, количество возможных шагов как вверх, так и вправо не может быть больше семи, т.е. к кратчайший путь не может содержать больше четырнадцати шагов. Следовательно, должно быть 7 шагов вправо и ровно 7 шагов вверх, причем на каждом шаге количество зерен должно увеличиваться. Значит, если клетка А ниже и левее, чем клетка В, то они обе лежат на главной диагонали (в левом нижнем и правом верхнем углах соответственно). В этом случае количество зерен в каждой клетке восстанавливается однозначно (см. рисунок). Тогда на главной диагонали, содержащей клетки А и В, находится 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 80 зерен. На другой главной диагонали находится 8 х 10 = 80 зерен. Другие возможные случаи расположения данных клеток отличаются от рассмотренного только симметрией (осевой или центральной), поэтому их можно не рассматривать.


Remote_NewsBlock loading...

 (голосов: 2)
18-09-2011, 17:30 Tati Просмотров: 10382 Комментариев: 0 Напечатать


Другие новости по теме:
    {related-news}
 
     
     
 

Добавление комментария

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:

Код:
Включите эту картинку для отображения кода безопасности
обновить, если не виден код
Введите код:

Отправить

 
     
       
 
Главная страница   |   Регистрация   |   Добавить новость   |   Новое на сайте   |   Статистика   |   Поддержка

                COPYRIGHT © 2004-2009 SoftNews Media Group All Rights Reserved.
                Основы компьютерной безопасности для начинающих "Ваш мастер" © 2010